19 ЗАДАНИЕ(ПРОФИЛЬ МАТЕМАТИКИ)
На столе лежит 40 карточек, среди которых есть красные и синие. Каждого вида
есть хотя бы одна карточка. Числа на всех синих карточках различны, а числа на
каждой из красных меньше любого числа на синих. Среднее арифметическое всех
чисел равно 19. Если увеличить каждое из чисел на синих карточках в 3 раза, то
среднее арифметическое станет равным 39.
а) Может ли на столе быть ровно 10 синих карточек?
б) Может ли на столе быть ровно 10 красных карточек?
в) Какое максимальное количество синих карточек может быть на столе?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) На столе не может быть ровно 10 синих карточек. Если бы на столе было ровно 10 синих карточек, то их суммарное значение до умножения на 3 было бы 1019 = 190, после умножения на 3 - 570. Так как сумма всех чисел на карточках равна 4019 = 760, то в этом случае сумма чисел на остальных карточках (красных) равна 190, что невозможно в силу условия, что числа на каждой красной карточке меньше любого числа на синей.

б) На столе не может быть ровно 10 красных карточек по тем же причинам. Сумма чисел на карточках не может быть равна 190.

в) Максимальное количество синих карточек на столе определяется, когда сумма чисел на них максимальна при условии, что среднее арифметическое всех чисел равно 19. Если увеличить каждое число на синих карточках в 3 раза, то среднее арифметическое всех чисел станет равным 39. Это означает, что сумма чисел на синих карточках после умножения на 3 равна 40*39 - 760, а до умножения на 3 - 253. Максимальное количество синих карточек будет, когда сумма чисел на них равна 253 и сумма чисел на остальных (красных) карточках равна 507. Таким образом, максимальное количество синих карточек на столе равно 253/3 = 84.