Используя представление функции в виде степенного ряда вычислить предел lim x стремится к 0 cos(3x)-cos(5x)/6x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Заметим, что cos(3x) и cos(5x) можно представить в виде степенного ряда:

cos(3x) = 1 - (3x)^2/2! + (3x)^4/4! - ...
cos(5x) = 1 - (5x)^2/2! + (5x)^4/4! - ...

Таким образом, можно выразить разность cos(3x) - cos(5x) в виде степенного ряда:

cos(3x) - cos(5x) = [(1 - (3x)^2/2! + (3x)^4/4! - ...) - (1 - (5x)^2/2! + (5x)^4/4! - ...)]
= 1 - (3x)^2/2! + (3x)^4/4! - ... - 1 + (5x)^2/2! - (5x)^4/4! + ...
= -2x^2 + 16x^4/2! - ...

Теперь у нас есть выражение для числителя в виде степенного ряда. Поделим его на 6x^2:

(cos(3x) - cos(5x))/6x^2 = (-2x^2 + 16x^4/2! - ...)/6x^2
= -1/3 + 16/2!x^2 - ...

Теперь можем вычислить предел этого выражения при x стремящемся к 0. Подставим x = 0:

lim x->0 (cos(3x) - cos(5x))/6x^2 = -1/3

Таким образом, предел выражения (cos(3x) - cos(5x))/6x^2 при x стремящемся к 0 равен -1/3.