Полное Исследование функции
y=x/(x-1)^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Область определения функции:

Функция определена для всех значений x, кроме x=1 (так как знаменатель не может быть равен нулю).
D = (-∞, 1) U (1, +∞)

Нули функции:

Чтобы найти нули функции y=x/(x-1)^3, решим уравнение x = 0. Заметим, что ноль функции есть 0.
y(0) = 0/(0-1)^3 = 0

График функции:

Для построения графика функции y=x/(x-1)^3, можно использовать программу для построения графиков, такую как Desmos или Wolfram Alpha. График будет иметь устойчивую гиперболическую форму с вертикальной асимптотой x=1 и горизонтальной асимптотой y=0. График будет проходить через точку (0,0) и будет расположен в первой и третьей четвертях.

Отличительные точки функции:

a) Поведение функции при стремлении x к плюс бесконечности:
lim(x->+∞) x/(x-1)^3 = lim(x->+∞) [1/(1-1/x)^3] = 1

b) Поведение функции при стремлении x к минус бесконечности:
lim(x->-∞) x/(x-1)^3 = lim(x->-∞) [1/(1-1/x)^3] = 1

c) Поведение функции при приближении x к 1:
lim(x->1) x/(x-1)^3 = 1/0 (не существует)

Производная функции:

Чтобы найти производную функции y=x/(x-1)^3, возьмем производную отношения двух функций и вычислим:
y' = [(x-1)^3 - 3x(x-1)^2]/(x-1)^6 = (x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x)/ (x-1)^6 = (-2x^2 + 4x + 1)/(x-1)^6

Экстремумы функции:

Для того чтобы определить экстремумы функции y=x/(x-1)^3, найдем ее производную y' и приравняем ее к нулю:
(-2x^2 + 4x + 1)/(x-1)^6 = 0
-2x^2 + 4x + 1 = 0
Решив полученное квадратное уравнение, получим значения х, в которых производная равна нулю. Затем изучим знаки производной на интервалах между корнями.

Вторая производная функции:

Для того, чтобы определить характер экстремума, нам потребуется вторая производная функции. Найдем ее:
y'' = d^2y/dx^2 = (d[(x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x)]/dx) (x-1)^6 - (-2x^2 + 4x + 1) d[(x-1)^6/dx]
y'' = (4 - 4x)/(x-1)^7

Асимптоты функции:

Горизонтальная асимптота:
lim(x->±∞) x/(x-1)^3 = 0

Вертикальная асимптота:
x = 1

Это полное исследование функции y=x/(x-1)^3.