Найдите объем тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями:
а)y^2=x ; y=x^2
б)y^2=8x ; y=x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Первоначально построим графики функций y^2=x и y=x^2:

Площадь фигуры, образованной вращением графика функции y^2=x вокруг оси Ох, можно найти с помощью интеграла при помощи метода кольца:

V = π ∫[a,b] x^2 - (x^4) dx
V = π ∫[a,b] (x^2 - x^4) dx

Где "а" и "b" - точки пересечения функций y^2=x и y=x^2.
(ищем точки пересечения графиков: x^2 = x, что дает x=0 и x=1)

V = π ∫[0,1] (x^2 - x^4) dx
V = π [1/3 x^3 - 1/5 x^5] | [0,1]

V = π (1/3 - 1/5)
V = π 2/15
V = 2π/15

Ответ: объем фигуры, образованной вращением графика функции y^2=x вокруг оси Ох, равен 2π/15.

б) Проделаем такие же шаги для функций y^2=8x и y=x^2:

Площадь фигуры, образованной вращением графика функции y^2=8x вокруг оси Ох:

V = π ∫[a,b] x^2 - (8x^2) dx
V = π ∫[a,b] (8- x^2) dx

Где "а" и "b" - точки пересечения функций y^2=8x и y=x^2.
(ищем точки пересечения графиков: x^2=8x, что дает x=0 и x=8)

V = π ∫[0,8] (8- x^2) dx
V = π [8x - 1/3 * x^3] | [0,8]

V = π (64 - 1/3 64)
V = π * (128/3)
V = 128π/3

Ответ: объем фигуры, образованной вращением графика функции y^2=8x вокруг оси Ох, равен 128π/3.