Предположим, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента. То есть, для любого натурального числа n найдется такое число m, что m < n.
Рассмотрим множество всех натуральных чисел, для которых это утверждение верно. Поскольку для каждого натурального числа этому условию удовлетворяет хотя бы одно число, то это множество не пусто. По принципу благополучия, у такого множества должен существовать наименьший элемент.
Пусть это наименьшее число обозначается как k. Так как k принадлежит множеству, то по определению k должно быть такое число m, что m < k. Но это противоречит предположению о том, что k является наименьшим числом в множестве. Следовательно, предположение о том, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента, неверно.
Таким образом, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент, который равен 1.
Предположим, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента. То есть, для любого натурального числа n найдется такое число m, что m < n.
Рассмотрим множество всех натуральных чисел, для которых это утверждение верно. Поскольку для каждого натурального числа этому условию удовлетворяет хотя бы одно число, то это множество не пусто. По принципу благополучия, у такого множества должен существовать наименьший элемент.
Пусть это наименьшее число обозначается как k. Так как k принадлежит множеству, то по определению k должно быть такое число m, что m < k. Но это противоречит предположению о том, что k является наименьшим числом в множестве. Следовательно, предположение о том, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента, неверно.
Таким образом, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент, который равен 1.