Найдите общее решение уравнения y’’-2y’+y=(x^2)-5x+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем характеристическое уравнение, соответствующее хомогенной части данного дифференциального уравнения:

r^2 - 2r + 1 = 0

(r - 1)^2 = 0

r = 1 (кратность 2)

Следовательно, общее решение однородной части уравнения имеет вид:

y_h = c1e^(x) + c2x*e^(x)

Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения методом вариации произвольных постоянных. Предположим, что решение имеет вид y_p = Ax^2 + Bx + C. Подставим это в уравнение:

2A - 2(2Ax + B) + Ax^2 + Bx + C = x^2 - 5x + 4

Ax^2 + (2A - 2B)x + (2A - 2B + C) = x^2 - 5x + 4

Сравниваем коэффициенты слева и справа:

A = 1, 2A - 2B = -5, 2A - 2B + C = 4

A = 1, B = 3, C = -2

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = x^2 + 3x - 2

Общее решение всего уравнения:

y = y_h + y_p = c1e^(x) + c2x*e^(x) + x^2 + 3x - 2