Автотранспортное предприятие арендует x машин и нанимает y водителей. Расходы на одну машину в день составляют 2000 руб., заработная плата водителя 1000 руб./день. Найти оптимальное число автомобилей и водителей, если выручка в день составляет z= 8000* (x^(2)*y)^(1/4) руб. Вычислить максимальную величину выручки и прибыли в день.
Для нахождения оптимального числа автомобилей и водителей нужно найти точку экстремума функции выручки z относительно переменных x и y. Для этого продифференцируем функцию выручки по x и y и приравняем производные к нулю:
Поскольку количество автомобилей и водителей не может быть равно нулю, то x^2 = y. Таким образом, оптимальное число автомобилей и водителей составляет x = y^(1/2).
Подставим x = y^(1/2) обратно в функцию выручки z и найдем максимальное значение:
Для нахождения максимальной величины выручки и прибыли в день подставим полученное значение y в функцию:
z = 8000 * y^(5/16)
Следовательно, максимальная выручка в день составляет 8000 у.е., а прибыль, учитывая расходы на автомобили и заработную плату водителя, будет зависеть от количества автомобилей и водителей, найденных ранее.
Для нахождения оптимального числа автомобилей и водителей нужно найти точку экстремума функции выручки z относительно переменных x и y. Для этого продифференцируем функцию выручки по x и y и приравняем производные к нулю:
∂z/∂x = 8000 (1/4) (x^(2)y)^(-3/4) 2x y = 0
∂z/∂y = 8000 (1/4) (x^(2)y)^(-3/4) * x^2 = 0
Отсюда получаем два уравнения:
x = 0 или y = 0
x^2 = y
Поскольку количество автомобилей и водителей не может быть равно нулю, то x^2 = y. Таким образом, оптимальное число автомобилей и водителей составляет x = y^(1/2).
Подставим x = y^(1/2) обратно в функцию выручки z и найдем максимальное значение:
z = 8000 ((y^(1/2))^2 y)^(1/4) = 8000 (y^(5/4))^(1/4) = 8000 y^(5/16)
Для нахождения максимальной величины выручки и прибыли в день подставим полученное значение y в функцию:
z = 8000 * y^(5/16)
Следовательно, максимальная выручка в день составляет 8000 у.е., а прибыль, учитывая расходы на автомобили и заработную плату водителя, будет зависеть от количества автомобилей и водителей, найденных ранее.