Найти область сходимости степенного ряда ∑ ((x-2)^n) / n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда ∑ ((x-2)^n) / n, воспользуемся признаком Даламбера.

Признак Даламбера для радикальных степенных рядов формулируется следующим образом: если для данного ряда

∑ a_n * x^n

существует предел

L = lim (|a_(n+1) x^(n+1) / (a_n x^n)|), при n стремящемся к бесконечности

и если 0 ≤ L < 1, то ряд сходится в интервале (-R, R), где R - радиус сходимости ряда.

В данном случае имеем an = (x-2)^n / n и a(n+1) = (x-2)^(n+1) / (n+1).

Вычислим предел для признака Даламбера:

L = lim |(x-2)^(n+1) / (n+1) * n / (x-2)^n|

L = lim |(x-2) / (n+1)| = |x-2| / ∞ = 0, если |x-2| < 1

Таким образом, радиус сходимости данного ряда равен 1 и областью сходимости является интервал (-1, 3).