На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, описанных около треугольников BXY.

Так как точка A лежит внутри окружности ω, то угол BAY является острым углом. Значит, угол BO1Y и угол BO2Y являются тупыми углами, так как дуга, на которой они опираются, больше половины окружности.

Рассмотрим треугольники BO1Y и BO2Y. Углы BO1Y и BO2Y тупые. Следовательно, угол O1BO2 тоже является тупым углом.

Перенесем вершину O2 в точку O2'. Тогда угол O1BO2 будет равен углу O1BO2'. Возьмем точку Z на продолжении O2B за точку BZ = BY. Тогда угол O1BO2' = углу O2'ZZ = 2 углу BZY = 2 угла BO1Y, так как угол BZY опирается на ту же дугу, что угол BAY, а двойной угол опирается на удвоенную дугу. Таким образом, угол O1BO2 = угол O1BO2' = 2 * угла BO1Y.

Аналогично можно доказать, что угол O2BO1 = 2 * угла BO2Y.

Таким образом, сумма углов O1BO2 + O2BO1 = 2 (угол BO1Y + угол BO2Y) = 2 180 градусов = 360 градусов, то есть угол O1BO2 + O2BO1 = 180 градусов, что означает, что точки O1, O2 и B лежат на одной прямой. Таким образом, центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.