На олимпиаде по математике было предложено три задачи. Первую задачу решили 139 учащихся, вторую задачу - 140 учащихся, третью задачу - 138 учащихся, первую и вторую - 37 учащихся, первую и третью - 38, вторую и третью - 36, не менее двух задач решили 71 учащихся. Сколько учащихся решили хотя бы одну задачу?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим множества учащихся, которые решили каждую задачу: A - первую, B - вторую, C - третью. Тогда:

|A| = 139
|B| = 140
|C| = 138
|A ∩ B| = 37
|A ∩ C| = 38
|B ∩ C| = 36
|A ∩ B ∩ C| = x (учащихся, которые решили все три задачи)
|A ∪ B ∪ C| = учащих, которые решили хотя бы одну задачу

По формуле включения-исключения:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Подставляем известные значения:
|A ∪ B ∪ C| = 139 + 140 + 138 - 37 - 38 - 36 + x
|A ∪ B ∪ C| = 221 + x

Также нам известно, что не менее двух задач решили 71 человек:
|A ∪ B| + |A ∪ C| + |B ∪ C| - 2|x| = 71

Подставляем известные значения:
(139 + 140 - 37) + (139 + 138 - 38) + (140 + 138 - 36) - 2x = 71
422 - 37 - 38 - 36 - 2x = 71
322 - 2x = 71
2x = 251
x = 125.5

Так как количество учащихся должно быть целым числом, то правильный ответ на вопрос: 221 + 125 человек решили хотя бы одну задачу на олимпиаде, то есть 346 учащихся.