Исследовать функцию на монотонность и экстремумы F(x)=x^3-3x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на монотонность и экстремумы нужно найти ее производную и решить уравнение производной равной нулю.

Найдем производную функции F(x):

F'(x) = 3x^2 - 3

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 3 = 0
3(x^2 - 1) = 0
x^2 - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Теперь проверим монотонность функции:

При x < -1:
F'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 < 0
Значит, функция убывает на интервале (-∞, -1).

При -1 < x < 1:
F'(-0.5) = 3(-0.5)^2 - 3 = 0.75 - 3 = -2.25 < 0
Значит, функция убывает на интервале (-1, 1).

При x > 1:
F'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0
Значит, функция возрастает на интервале (1, ∞).

Итак, функция F(x) убывает на интервалах (-∞, -1) и (-1, 1), и возрастает на интервале (1, ∞). Точки экстремума у нас две: минимум при x = -1 и максимум при x = 1.