Уравнение x^{2}+px+q=0 имеет два натуральных корня
найдите все возможные значения p, если q=55

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для уравнения x^2 + px + 55 = 0, чтобы иметь два натуральных корня, дискриминант должен быть положительным и являться квадратом некоторого натурального числа.

Дискриминант D = p^2 - 220. Поскольку D должен быть положительным и и является квадратом некоторого натурального числа, возможные значения p такие, что D = p^2 - 220 = n^2, где n - натуральное число.

Решим уравнение в целых числах: p^2 - n^2 = 220
(p - n)(p + n) = 220

Теперь найдем все пары целых чисел p и n, такие что их произведение равно 220 и выберем из них только те, для которых p и n - натуральные числа.

Факторизация 220: 220 = 2 2 5 * 11

Получаем следующие пары (p - n, p + n):
(1, 220), (2, 110), (4, 55), (5, 44), (10, 22)

Проверим, являются ли эти пары целыми и натуральными.

(1, 220):
p - n = 1, p + n = 220 => p = 111, n = 110 - не подходит

(2, 110):
p - n = 2, p + n = 110 => p = 56, n = 54 - подходит

(4, 55):
p - n = 4, p + n = 55 => p = 29, n = 25 - подходит

(5, 44):
p - n = 5, p + n = 44 => p = 24, n = 19 - не подходит

(10, 22):
p - n = 10, p + n = 22 => p = 16, n = 6 - подходит

Итак, только для p = 29 и p = 16 корни уравнения x^2 + px + 55 = 0 являются натуральными числами.