[tex]y = \frac{x {}^{2} }{9} - 6[/tex]Найти эволюту кривой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения эволюты кривой нужно найти производную первого порядка и второго порядка и выразить уклон и кривизну.

Первая производная:
[tex]y' = \frac{2x}{9}[/tex]

Вторая производная:
[tex]y'' = \frac{2}{9}[/tex]

Уклон:
Уклон кривой определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой. Угол наклона касательной можно найти с помощью первой производной. Таким образом, уклон равен:
[tex]\text{tg}\alpha = y' = \frac{2x}{9}[/tex]

Кривизна:
Кривизна вычисляется по формуле:
[tex]\rho = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^\frac{3}{2}}[/tex]

Подставляя значения:
[tex]\rho = \frac{\frac{2}{9}}{\left(1 + \left(\frac{2x}{9}\right)^2\right)^\frac{3}{2}} = \frac{\frac{2}{9}}{\left(1 + \frac{4x^2}{81}\right)^\frac{3}{2}}[/tex]

Таким образом, мы получили уклон и кривизну кривой. Эволюта кривой - это кривая, построенная таким образом, что величина кривизны кривой и эволюты в каждой точке равны. То есть, для нахождения эволюты нужно решить уравнение:
[tex]\frac{\frac{2}{9}}{\left(1 + \frac{4x^2}{81}\right)^\frac{3}{2}} = k[/tex]

где k - постоянная.