S(2/cos^x - e^x/2 +2)dx б) Sx/2x^-1dx (замена t=2x^2-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для первого выражения S(2/cos^x - e^x/2 +2)dx:
Выполним замены:
u = cos(x) => du = -sin(x)dx
v = e^x/2 => dv = (1/2)e^x dx

Разделим интеграл на три:
S(2/cos^x)dx - S(e^x/2)dx + S2dx

Интеграл S(2/cos^x)dx можно решить методом поэтапной замены и получить:
S(2/cos^x)dx = 2S(1/u)du = 2ln|u| + C = 2ln|cos(x)| + C

Интеграл S(e^x/2)dx можно решить с помощью интегрирования по частям, который даст:
S(e^x/2)dx = (2e^x/2) - S(e^x/2)dx = e^x - S(e^x/2)dx, а затем:
S(e^x/2)dx = 2e^x - C

Затем остается вычислить интеграл S2dx:
S2dx = 2x + C

Итак, итоговый ответ:
2ln|cos(x)| + e^x - 2x + C

б) Для второго выражения Sx/2x^-1dx с заменой t=2x^2-1:
Для начала найдем производную от t по x:
dt/dx = 4x
dt = 4x dx
dx = dt / 4x

Подставим в выражение интеграла: Sx/2x^-1dx = Sdt / (8x^2 - 4x) = (1/8) Sdt/t

Интеграл (1/t)dt равен ln|t| + C, поэтому можно записать окончательный ответ:
(1/8)ln|2x^2-1| + C