Биссектриса, проведенная из вершины C прямого угла треугольника ABC , пересекает гипотенузу в точке M . Найти площадь треугольника AMC , если АС = 30 см., ВС = 45 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольника ABC, опущенную из вершины C на гипотенузу AB.

По теореме Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 30^2 + 45^2
AB = sqrt(30^2 + 45^2) = sqrt(900 + 2025) = sqrt(2925) = 15sqrt(13) см

Площадь треугольника ABC равна:
S_ABC = (1/2) AB AC = (1/2) 15sqrt(13) 30 = 225sqrt(13) см^2

Так как биссектриса разбивает угол C пополам, то треугольник AMC является прямоугольным с гипотенузой AC и катетами AM и MC.

AM = AC BC / (AB + BC) = 30 45 / (15sqrt(13) + 45) = 1350 / (15sqrt(13) + 45) = 30 / sqrt(13) см
MC = AC AB / (AB + BC) = 30 15sqrt(13) / (15sqrt(13) + 45) = 450sqrt(13) / (15sqrt(13) + 45) = 15sqrt(13) см

Площадь треугольника AMC равна:
S_AMC = (1/2) AM MC = (1/2) 30/sqrt(13) 15sqrt(13) = 225/2 = 112.5 см^2

Ответ: площадь треугольника AMC равна 112.5 квадратных сантиметров.