Исследовать функцию на монотонность 1/(x*e^x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования монотонности функции ( f(x) = \frac{1}{x\cdot e^x} ), мы должны найти производную этой функции.

Для начала найдем производную функции ( f(x) ). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения и частного:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x\cdot e^x}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^x}\right) = \frac{-1}{x^2}\cdot\frac{1}{e^x} + \frac{1}{x}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{e^x}\right) ]

[ f'(x) = \frac{-1}{x^2}\cdot\frac{1}{e^x} + \frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{e^x}\right) = -\frac{1}{x^2\cdot e^x} - \frac{1}{x\cdot e^x} = -\frac{e^x + 1}{x^2\cdot e^x} ]

Теперь, чтобы определить монотонность функции, мы должны изучить знак производной. Рассмотрим случаи:

Первый случай: ( e^x + 1 > 0, x^2 > 0 )

Если ( e^x > -1 ) (для всех x), то ( e^x + 1 > 0 )Также, ( x^2 > 0 ) для всех xЗначит, ( f'(x) < 0 ) для всех xСледовательно, функция убывает для всех x

Второй случай: ( e^x + 1 < 0, x^2 > 0 )

Этот случай невозможен, поскольку сумма экспоненциальных функций и константы всегда положительна, а ( x^2 ) положителен для всех x

Итак, функция ( f(x) = \frac{1}{x\cdot e^x} ) убывает для всех действительных x.