Найдите объем тела, полученный при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. y^2=x, y=0, x=2, x=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных линий:

y^2 = x
y = sqrt(x)

Точки пересечения с осями координат: A(0,0), B(1,1), C(4,2)

Таким образом, фигура, ограниченная линиями y^2=x, y=0, x=2, x=4 - это фигура, ограниченная графиком функции y=sqrt(x) и осями ОX и ОY в пределах от x=0 до x=4.

Объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси ОХ, можно найти с помощью интеграла:

V = ∫[0,4] π(y)^2 dx
V = ∫[0,4] πsqrt(x)^2 dx
V = ∫[0,4] πx dx = π(x^2/2)|[0,4] = π(4^2/2-0) = 8π

Итак, объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ данной фигуры, равен 8π.