В остроугольном треугольнике АВС, площадь которого равна 12, высота ВВ1, проведенная к стороне АС, равна 4. Радиус R описанной вокруг треугольника окружности равен 2 корней из 3.
Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника А1ВС1, где А1 и С1 - основания высот, проведенные к сторонам соответственно из точек А и С.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника АВС равна S = (1/2) AB ВВ1 = 12, где AB - основание треугольника.
Так как треугольник остроугольный, то высота ВВ1 является медианой и перпендикуляром к стороне АС, следовательно, треугольник является прямоугольным.
Из условия задачи радиус описанной окружности R = 2√3. По теореме описанного круга в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = (AB/2). Таким образом, AB = 4√3.
Отсюда получаем, что ВВ1 = 3.
Теперь найдем площадь треугольника А1В1С1. Так как треугольник А1В1В прямоугольный, то S(A1В1C1) = (1/2) А1С1 В1С1 = 3 * 4 = 12.
Итак, отношение S(ABC) / S(A1B1C1) = 12 / 12 = 1.