Найти уравнение касательной и нормали к кривой y=x^3-x^2+6x проходящих через точку с абсциссой Xо=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения уравнения касательной и нормали к данной кривой, проходящих через точку с абсциссой X₀=2, нужно выполнить следующие шаги:

Найдем производную данной функции y=x^3-x^2+6x. Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности:
y'=3x^2-2x+6.

Найдем значение производной в точке X₀=2:
y'(2) = 3(2)^2 - 22 + 6 = 3*4 - 4 + 6 = 12 - 4 + 6 = 14.

Теперь найдем значение функции в точке X₀=2:
y(2) = (2)^3 - (2)^2 + 6*2 = 8 - 4 + 12 = 16.

Теперь у нас есть точка (2, 16) и значение производной в этой точке (y'(2) = 14). Используя эти значения, мы можем найти уравнение касательной и нормали.

Уравнение касательной:
Уравнение касательной будет иметь вид y = y'(X₀)(x-X₀) + y(X₀):
y = 14(x-2) + 16,
y = 14x - 28 + 16,
y = 14x - 12.

Уравнение нормали:
Поскольку нормаль перпендикулярна касательной, то угловой коэффициент нормали будет равен -1/угловому коэффициенту касательной:
y = -1/14(x-2) + 16,
y = -1/14x + 1/72 + 16,
y = -1/14x + 2/7 + 16,
y = -1/14*x + 114/7.

Таким образом, уравнение касательной к данной кривой y=x^3-x^2+6x, проходящей через точку с абсциссой X₀=2, имеет вид y = 14x - 12, а уравнение нормали имеет вид y = -1/14*x + 114/7.