Решить уравнение
y’’+8y’+16y=0 если y=3,y’=1, при x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка, используем метод характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение:
r^2 + 8r + 16 = 0

Решаем квадратное уравнение:
D = 8^2 - 4116 = 64 - 64 = 0
r1,2 = -8/2 = -4

Таким образом, характеристическое уравнение имеет единственный корень r = -4, который является корнем кратности 2.

Общее решение дифференциального уравнения:
y(x) = c1e^(-4x) + c2x*e^(-4x)

Исходя из начальных условий y(0) = 3, y'(0) = 1, найдем коэффициенты c1 и c2.

y(0) = c1e^0 + c20e^0 = c1 = 3
y'(0) = -4c1e^0 + c2(-4*e^0 + 0) = -4c1 = -4(3) = -12

Таким образом, c1 = 3 и c2 = -3.

Итак, частное решение уравнения y'' + 8y' + 16y = 0 с начальными условиями y(0) = 3 и y'(0) = 1:
y(x) = 3e^(-4x) - 3x*e^(-4x)