Вычислить объем тела ограниченного поверхностями y=20sqrt(2*y), x=5sqrt(2*y),z=0, z+y=0,5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения поверхностей:
y = 20√(2y) и y/2 + y = 0.5
20√(2y) + y = 0.5
20√(2y) = 0.5 - y
400(2y) = 0.25 - y + 0.5y - y^2
800y = 0.25 + 0.25y - y^2
y^2 - 0.25y - 0.25 = 0

Решим это квадратное уравнение:
y = (0.25 +- √((0.25)^2 + 1)) / 2
y = 0.5 / 2 = 0.25 or y = -0.75.

Так как y должно быть положительным, то y = 0.25

Теперь найдем x:
x = 5√(20.25) = 5√0.5 = 5(1/√2) = 5/√2

Теперь можем вычислить объем тела, ограниченного этими поверхностями:

V = ∫[0,0.25] ∫[0, 5/√2] (0.5 - z - y) dx dy dz

V = ∫[0,0.25] ∫[0, 5/√2] (0.5 - z - 0.25) dx dy dz
V = ∫[0,0.25] ∫[0, 5/√2] (0.25 - z) dx dy dz
V = ∫[0,0.25] [0.25x - zx] [0, 5/√2] dy dz
V = ∫[0,0.25] 0.25 (5/√2 - 0) - z (5/√2 - 0) dy dz
V = ∫[0,0.25] 0.3125 - 2.5z dy dz
V = ∫[0,0.25] 0.3125y - 2.5zy |[0,5/√2] dz
V = 0.3125(0.25) - 2.50.255/√2
V = 0.078125 - 2.5/sqrt(2)

Итак, объем тела равен 0.078125 - 2.5/sqrt(2) кубических единиц.