Вычислить неопределенный интеграл Здравствуйте! Помогите решить два примераВычислить неопределенный интеграл ∫x^4 lnx dxВычислить неопределенный интеграл ∫(2x-3)/(x^2+6x+8) dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для первого интеграла ∫x^4 lnx dx воспользуемся методом интегрирования по частям.

∫x^4 lnx dx = ∫u dv = uv - ∫v du

Пусть u = lnx, тогда dv = x^4 dx
Тогда du = (1/x) dx и v = (1/5)x^5

Подставляем:

= (1/5)x^5 lnx - ∫(1/5)x^5 (1/x) dx
= (1/5)x^5 lnx - (1/5) ∫x^4 dx
= (1/5)x^5 lnx - (1/5)(1/5)x^5 + C
= (1/5)x^5 lnx - (1/25)x^5 + C

Для второго интеграла ∫(2x-3)/(x^2+6x+8) dx разложим дробь на простейшие дроби:

∫(2x-3)/(x^2+6x+8) dx = ∫(2x-3)/(x+4)(x+2) dx

Разложим на простейшие дроби:

2x-3 = A/(x+4) + B/(x+2)
2x-3 = A(x+2) + B(x+4)
2x-3 = Ax + 2A + Bx + 4B
2x-3 = x(A+B) + 2A + 4B

Сравнивая коэффициенты:

A+B = 2
2A + 4B = -3

Решая систему уравнений, получаем A = -1, B = 3

Теперь разложим исходный интеграл на простейшие дроби:

∫(2x-3)/(x^2+6x+8) dx = - ∫1/(x+4) dx + 3 ∫1/(x+2) dx
= -ln|x+4| + 3ln|x+2| + C = ln|(x+2)^3/(x+4)| + C.