Вычислить объем тела ограниченного поверхностями z=0,
z=1-y,
y=x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти объем тела ограниченного указанными поверхностями, необходимо найти границы интегрирования и составить интеграл тройного интеграла.

Заметим, что граница по оси y изменяется от 0 до 1, а границы по оси x изменяются от -1 до 1. Таким образом, границы интегрирования будут:

0 ≤ y ≤ 1
-1 ≤ x ≤ 1

Теперь составим интеграл объема тела:

V = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ dydx

Где область интегрирования определена границами, описанными выше.

Таким образом,

V = ∫[0,1] ∫[-1,1] dydx

Сначала интегрируем по x:

V = ∫[0,1] (x^2)dx = [x^3/3] [-1,1] = 2/3

Интегрируем по y:

V = ∫[0,1] (2/3)dy = (2/3)y | [0,1] = 2/3

Итак, объем тела, ограниченного поверхностями z=0, z=1-y и y=x^2, равен 2/3.