Длины 12 отрезков являются натуральными числами, меньшими 144. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно сложить треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение от противного.
Предположим, что нельзя выбрать три отрезка из данных 12 для построения треугольника. Тогда для любых трех отрезков A, B и C будут выполняться следующие условия:
1) A + B <= C
2) A + C <= B
3) B + C <= A

Просуммируем все условия для всех возможных комбинаций отрезков. Поскольку каждый отрезок участвует в каждом неравенстве дважды (в левой части и в правой), сумма всех левых частей будет равна сумме всех правых частей.

Получим:
2*(A1 + A2 + ... + A12) <= 3(A1 + A2 + ... + A12)

Отсюда следует, что
A1 + A2 + ... + A12 <= 0

Но так как все отрезки являются натуральными числами, неотрицательными и меньше 144, сумма 12 отрезков не может быть отрицательной и меньше 144*12 = 1728. Противоречие.

Таким образом, среди данных 12 отрезков обязательно найдутся три, из которых можно построить треугольник.

Доказательство неверно, оно содержит грубые логические ошибки.