Ко дню города один чиновник распорядился повесить 300 красных флажков. Второму чиновнику не понравилось однотонная гирлянда из флажков, и он приказал каждый второй флажок заменить на белый. После этого третий чиновник дал указание заменить каждый третий флажок (т.е. если флажок был красный - заменить его на белый, а если белый - на красный ). Затем четвертый чиновник распорядился заменить цвет каждого четвертого флажка. Следом за ним пятый чиновник приказал поменять цвет каждого пятого флажка и т.д. Сколько белых флажков висело после того , как трехсотый чиновник заменил цвет трехсотого флажка?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить эту задачу, нужно найти все делители числа 300 и посчитать, сколько раз каждый из них встречается.

Число 300 можно представить как произведение простых множителей: 2 2 3 5 5. Это дает нам делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300.

Каждый раз, когда делитель встречается четное количество раз (к примеру, 2, 4, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 50, 60, 100, 150), цвет флажка меняется. Каждый раз, когда делитель встречается нечетное количество раз (к примеру, 1, 3, 5, 25, 75, 300), цвет флажка остается неизменным.

Таким образом, белых флажков будет после того, как третий чиновник заменит цвет третьего флажка, равно количество делителей числа 300, которые встречаются нечетное количество раз. Их всего 6: 1, 3, 5, 25, 75, 300. Таким образом, после того, как третий чиновник заменит цвет третьего флажка, будет висеть 6 белых флажков.