1/(a-1)(a-2)+1/(a-2)(a-3)+1/(a-3)(a-4) упростить выражение с подробным объяснением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для упрощения данного выражения нужно преобразовать каждое слагаемое к общему знаменателю и просуммировать.

Начнем с первого слагаемого:
1/(a-1)(a-2) = A/(a-1) + B/(a-2), где А и В - неизвестные коэффициенты. Домножим обе стороны на (a-1)(a-2):
1 = A(a-2) + B(a-1)
1 = Aa - 2A + Ba - B
1 = a(A + B) - 2A - B

Из этого уравнения видно, что A + B = 0, -2A - B = 1. Решая эти уравнения, получаем A = -1, B = 1.

Таким образом, первое слагаемое преобразуется в -1/(a-1) + 1/(a-2).

Перейдем ко второму слагаемому:
1/(a-2)(a-3) = C/(a-2) + D/(a-3), где C и D - неизвестные коэффициенты. Домножим обе стороны на (a-2)(a-3):
1 = C(a-3) + D(a-2)
1 = Ca - 3C + Da - 2D
1 = a(C + D) - 3C - 2D

Из этого уравнения видно, что C + D = 0, -3C - 2D = 1. Решая эти уравнения, получаем C = 1, D = -1.

Таким образом, второе слагаемое преобразуется в 1/(a-2) - 1/(a-3).

Преобразуем третье слагаемое:
1/(a-3)(a-4) = E/(a-3) + F/(a-4), где E и F - неизвестные коэффициенты. Домножим обе стороны на (a-3)(a-4):
1 = E(a-4) + F(a-3)
1 = Ea - 4E + Fa - 3F
1 = a(E + F) - 4E - 3F

Из этого уравнения видно, что E + F = 0, -4E - 3F = 1. Решая эти уравнения, получаем E = -1, F = 1.

Таким образом, третье слагаемое преобразуется в -1/(a-3) + 1/(a-4).

Теперь сложим все преобразованные слагаемые:
-1/(a-1) + 1/(a-2) + 1/(a-2) - 1/(a-3) - 1/(a-3) + 1/(a-4)
= -1/(a-1) + 2/(a-2) - 2/(a-3) + 1/(a-4)

Итак, упрощенное выражение:
-1/(a-1) + 2/(a-2) - 2/(a-3) + 1/(a-4).