Найдите первообразную F(x) для функции f(x), график которого проходит через точку M(a,b):...
Найдите первообразную F(x) для функции f(x), график которого проходит через точку M(a,b): 1)f(x)=sin(x-П/4),M(3/П;2) 2)f(x)=2/sin^2x,M(П/4;3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для функции f(x) = sin(x - π/4), чтобы найти первообразную F(x), мы должны проинтегрировать f(x):

F(x) = ∫sin(x - π/4) dx

Применим замену переменных: u = x - π/4, du = dx

F(x) = ∫sin(u) du
F(x) = -cos(u) + C
F(x) = -cos(x - π/4) + C

Теперь, чтобы найти константу С, подставим точку M(3π/4,2):

Таким образом, первообразной функции f(x) = sin(x - π/4), проходящей через точку M(3π/4,2), является F(x) = -cos(x - π/4) + 2.

2) Для функции f(x) = 2/sin^2x, чтобы найти первообразную F(x), мы должны проинтегрировать f(x):

F(x) = ∫2/sin^2x dx

Применим тригонометрическое тождество sin^2x = 1 - cos^2x:

F(x) = ∫2/(1 - cos^2x) dx

Применим замену переменных: u = cos(x), du = -sin(x) dx

F(x) = ∫-2/(1 - u^2) du
F(x) = -2∫1/(1 - u)(1 + u) du
F(x) = -2∫(1/2) * (1/(1 - u) + 1/(1 + u)) du
F(x) = -∫(1/(1 - u) + 1/(1 + u)) du
F(x) = -ln|1 - cos(x)| + ln|1 + cos(x)| + C
F(x) = ln|1 + cos(x)| - ln|1 - cos(x)| + C
F(x) = ln|(1 + cos(x))/(1 - cos(x))| + C

Теперь, чтобы найти константу С, подставим точку M(π/4,3):

ln|(1 + cos(π/4))/(1 - cos(π/4))| + C = ln|(1 + √2/2)/(1 - √2/2)| + C = ln|(1 + √2)/(1 - √2)| + C = ln|1 + √2| - ln|1 - √2| + C = ln(1 + √2) - ln(1 - √2) + C = ln((1 + √2)/(1 - √2)) + C

Таким образом, первообразной функции f(x) = 2/sin^2x, проходящей через точку M(π/4,3), является F(x) = ln((1 + √2)/(1 - √2)) + C.