Решить уравнение, отыскав все его корни: √3/2⋅cosx − 12⋅sinx = 1 (Везде k ∈ Z) Варианты ответа: 1) пи/4+2пиk 2) −пи2 + 2пиk 3) пи2 + пиk 4) −пи/6 + 2пиk

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение:

√3/2⋅cosx - 12⋅sinx = 1
cosx = 2√3sinx + 1/2
cosx = √3(sin(π/3)x + cos(π/6))

Теперь используем формулу для cos(a+b):

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cosx = √3(sin(π/3)x + cos(π/6))
= √3cos(π/3)cosx - √3sin(π/3)sinx
= (1/2)√3cosx - (√3/2)sinx

Сравнивая с исходным уравнением, получаем два уравнения:

(1/2)√3 = 12
(√3/2) = -1

Из первого уравнения находим cosx = 24/√3, а из второго sinx = -2/√3.

Теперь смотрим на знаки sin и cos, чтобы определить в каких квадрантах они положительные:

sin отрицательный, cos положительный - значит находимся в четвертом квадранте.

Теперь используем общую формулу для нахождения всех корней уравнения:

x = 2πk - π/6, где k ∈ Z

Ответ: 4) -π/6 + 2πk