Доказать, что при любом натруальном n число 5^n-3^n+2n делится 4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем по индукции.

База индукции:
Для n = 1: 5^1 - 3^1 + 2*1 = 4, что делится на 4.

Предположение индукции:
Пусть для некоторого k число 5^k - 3^k + 2k делится на 4.

Шаг индукции:
Докажем, что число 5^(k+1) - 3^(k+1) + 2(k+1) также делится на 4.

5^(k+1) - 3^(k+1) + 2(k+1) = 55^k - 33^k + 2k + 2
55^k - 33^k + 2k + 2 = 5*(5^k - 3^k + 2k) + 2

Из предположения индукции вытекает, что 5^k - 3^k + 2k делится на 4, обозначим это число за m.
Тогда 5*(5^k - 3^k + 2k) + 2 = 5m + 2.
Таким образом, число 5^(k+1) - 3^(k+1) + 2(k+1) равно 5m + 2, и является суммой, которая при делении на 4 остается 2.

Таким образом, число 5^n - 3^n + 2n делится на 4 для любого натурального n.