В равностороннем треугольнике отрезали угол при вершине так, что получилась трапеция. Из двух таких (одинаковых) трапеций, приложив их боковыми сторонами друг к другу, получили параллелограмм. Периметр параллелограмма оказался на 10 см больше периметра исходного треугольника. Найдите периметр треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона треугольника равна a, а сторона трапеции (основание) равняется b. Тогда периметр исходного треугольника равен 3a, а периметр параллелограмма равен 2(b + a + b).

Из условия задачи следует, что 2(b + a + b) = 3a + 10. Решив это уравнение, найдем, что b = a + 5. Таким образом, сторона трапеции равна a + 5.

Так как мы отрезали угол при вершине треугольника, получилась трапеция с углом в 60 градусов. Заметим, что боковые стороны трапеции равны сторонам треугольника, и, следовательно, равны стороне a.

Для того чтобы построить параллелограмм из двух таких трапеций, нужно просто приложить их боковыми сторонами друг к другу. Получится, что высота образовавшегося параллелограмма равна стороне a треугольника.

Теперь можем найти сторону параллелограмма (параллельную основаниям трапеции) по теореме Пифагора: (c = \sqrt{(a + 5)^2 - a^2} = \sqrt{10a + 25} ). Периметр параллелограмма равен 2(a + 5 + sqrt(10a + 25)).

Таким образом, ставим равенство периметров и найдем периметр треугольника:
[
3a = 2(a + 5 + sqrt(10a + 25)) - 10
]
[
3a = 2a + 10 + 2 sqrt(10a + 25) - 10
]
[
a = 2 sqrt(10a + 25)
]
[
a^2 = 4(10a + 25)
]
[
a^2 = 40a + 100
]
[
a^2 - 40a - 100 = 0
]
[
a = 20 + 10 sqrt{3}
]
[
3a = 60 + 30 sqrt{3}
]

Итак, периметр треугольника равен 60 + 30sqrt(3) см.