Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разделили на две части и переставили эти части друг с другом. Обязательно ли полученное девятизначное число будет делиться на 37? (с пояснениями)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся!

Пусть исходное девятизначное число, делящееся на 37, равно $abcdefghi$, где a, b, c, d, e, f, g, h, i - цифры.

Тогда можно записать уравнение:

$100000000a + 10000000b + 1000000c + 100000d + 10000e + 1000f + 100g + 10h + i = 37 \cdot k$, где k - натуральное число.

Переставим части числа $abcdefghi$ и получим число $defghia bc$.

Тогда новое девятизначное число равно $defghia bc = 10000000d + 1000000e + 100000f + 10000g + 1000h + 100i + 10a + b + c = 37 \cdot m$, где m - натуральное число.

Если проверить выполнение условия по модулю 37 нового числа $defghia bc$, мы увидим, что оно также делится на 37, так как результат деления исходного числа на 37 остается неизменным после перестановки.

Итак, ответ: да, полученное девятизначное число также будет делиться на 37.