Существует ли натуральное число n>1, для которого число 1...19...98...86...6, где каждая цифра встречается n раз, делится на 1987 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, существует такое натуральное число n.

Число 1...19...98...86...6 с каждой цифрой, повторенной n раз, можно представить в виде суммы чисел вида 10^(k-1), где k - положение цифры в числе (например, 1 для первой цифры, 3 для третьей и т.д.).

Для делимости на 1987 необходимо, чтобы сумма чисел вида 10^(k-1) делилась на 1987. Обратим внимание, что 1987 = 11 * 181. Поскольку 10 = 1 (mod 181), то 10^(k-1) = 1 (mod 181) для любого натурального k. Таким образом, сумма чисел вида 10^(k-1) будет делиться на 181 при любом n.

Аналогично, 10 = 4 (mod 11), поэтому 10^(k-1) = 4^(k-1) (mod 11). Заметим, что 4^(5-1) = 256 = 10 = -1 (mod 11). Таким образом, сумма чисел вида 10^(k-1) будет делиться на 11 при четном n и на 1 при нечетном n.

Таким образом, можно выбрать n в виде произведения двух чисел: n = 181 * p, где p - нечетное. Тогда число 1...19...98...86...6, где каждая цифра повторяется n раз, будет делиться на 1987.