Основание пирамиды совпадает с одной из граней куба, а вершина – с центром противоположной грани. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи рассмотрим треугольник, образованный центром основания, вершиной пирамиды и центром противоположной грани.

Так как вершина пирамиды совпадает с центром противоположной грани, то сторона треугольника между вершиной пирамиды и центром противоположной грани равна радиусу основания пирамиды.

Пусть a - сторона куба (основания пирамиды), тогда радиус основания равен a/2.

Так как центр противоположной грани - это середина диагонали куба, то по теореме Пифагора длина стороны треугольника между центром основания и центром противоположной грани будет равна (\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}).

Теперь можем найти косинус угла между соседними боковыми гранями пирамиды:

[\cos \alpha = \frac{a/2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.]

[\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \approx 35,26^\circ.]

Таким образом, угол между соседними боковыми гранями пирамиды составляет примерно 35,26 градусов.