F(x)=4x в квадрате - x в четвертой исследовать функцию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции (f(x) = 4x^2 - x^4) сначала найдем производные:

Первая производная:
(f'(x) = 8x - 4x^3)

Теперь найдем точки экстремума, где производная равна нулю:
(8x - 4x^3 = 0)
(4x(2 - x^2) = 0)

Точки экстремума:
(x = 0)
(x = \pm \sqrt{2})

Теперь для определения характера экстремумов проанализируем вторую производную:

Вторая производная:
(f''(x) = 8 - 12x^2)

Подставим точки экстремума во вторую производную:

Для (x = 0):
(f''(0) = 8), положительное значение, следовательно, экстремум в этой точке является минимумом.

Для (x = \sqrt{2}):
(f''(\sqrt{2}) = 8 - 12(\sqrt{2})^2 = -16), отрицательное значение, следовательно, экстремум в этой точке является максимумом.

Для (x = -\sqrt{2}):
(f''(-\sqrt{2}) = 8 - 12(-\sqrt{2})^2 = -16), отрицательное значение, следовательно, экстремум в этой точке также является максимумом.

Таким образом, функция (f(x) = 4x^2 - x^4) имеет локальный минимум в точке (x = 0) и локальные максимумы в точках (x = \sqrt{2}) и (x = -\sqrt{2}).