Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=2x^2+x, y=-2x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных функций.

Из уравнений y=2x^2+x и y=-2x+2 получаем:

2x^2 + x = -2x + 2

Приравниваем обе части уравнения к нулю:

2x^2 + x + 2x - 2 = 0
2x^2 + 3x - 2 = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac
D = 3^2 - 42(-2) = 9 + 16 = 25

x1 = (-3 + √25)/(22) = (-3 + 5)/4 = 1/2
x2 = (-3 - √25)/(22) = (-3 - 5)/4 = -2

Теперь найдем y для каждого значения x:

При x = 1/2:
y = 2*(1/2)^2 + 1/2 = 2(1/4) + 1/2 = 1/2

При x = -2:
y = -2*(-2) + 2 = 4 + 2 = 6

Таким образом, точки пересечения линий y=2x^2+x и y=-2x+2: (1/2, 1/2) и (-2, 6).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Для этого нужно найти интеграл от разности данных функций (от y=2x^2+x до y=-2x+2) по переменной x на отрезке [-2, 1/2]:

S = ∫[a;b] (f(x) - g(x)) dx
S = ∫[-2;1/2] (2x^2 + x - (-2x + 2)) dx
S = ∫[-2;1/2] (2x^2 + x + 2x - 2) dx
S = ∫[-2;1/2] (2x^2 + 3x - 2) dx

Вычислим данный интеграл:

S = [2/3 x^3 + 3/2 x^2 - 2x] |[-2;1/2]
S = [2/3 (1/2)^3 + 3/2 (1/2)^2 - 2 1/2] - [2/3 (-2)^3 + 3/2 (-2)^2 - 2 (-2)]
S = [2/3 1/8 + 3/2 1/4 - 1] - [2/3 (-8) + 3/2 4 + 4]
S = [2/24 + 3/8 - 1] - [-16/3 + 6 - 4]
S = [1/12 + 3/8 - 1] - [-16/3 + 2]
S = [1/12 + 9/24 - 12/12] - [-16/3 + 6/3]
S = [1/12 + 9/24 - 12/12] - [-10/3]
S = [1/12 + 9/24 - 12/12 + 10/3]

S = 5/6

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^2+x и y=-2x+2 равна 5/6.