2019! : на 2^2019? (доказать)
Найти все такие n, что n! делится на 2^n (тоже подробно)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Посчитаем 2^2019 при помощи компьютера или калькулятора:
2^2019 ≈ 4.38 * 10^607

2) Для доказательства того, что 2019! не делится на 2^2019, рассмотрим, какое количество двоек содержится в разложении числа 2019! на простые множители.

2019! = 1 2 3 ... 2018 * 2019

Количество двоек в разложении числа 2019! равно сумме всех степеней двойки в числах от 1 до 2019.
Количество двоек = [2019 / 2] + [2019 / 4] + [2019 / 8] + ... = 1009 + 504 + 252 + ... ≈ 1009

3) Как мы видим, количество двоек в разложении 2019! (1009) меньше, чем 2019.
Это говорит о том, что 2019! не делится на 2^2019.

4) Теперь найдем все целые числа n, для которых n! делится на 2^n.
Для того чтобы n! делился на 2^n, каждый множитель 2 в разложении факториала n! должен быть простым множителем в n!.
Таким образом, количество двоек в разложении факториала должно быть не меньше, чем n.

Таким образом, все целые числа n, для которых n! делится на 2^n, это n = 0, 1, 2.

Таким образом, 2019! не делится на 2^2019, и единственные целые числа n, для которых n! делится на 2^n, это n = 0, 1, 2.