В остроугольном треугольнике АВС точка М -середина стороны АВ, АА1и ВВ1 -высоты .Докажете ,что треугольник А1МВ1-равнобедренный , и найдите его периметр , если АВ =6 и cosC =2/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как точка М - середина стороны AB, то AM = MB. Также, так как AA1 и BB1 - высоты, то треугольник АА1В и ВВ1А равны, а значит у них равны основания. Следовательно, AB1 = A1B.

Так как М - середина стороны AB, то АМ = MB, а также МВ1 = МA1, так как их диагонали треугольника AB1М равны.

Из равенства AM = MB следует, что угол AMB = 90 градусов.

Из равенства МВ1 = МA1 следует, что угол A1MV1 = угол MV1A1, что также равно 90 градусов.

Таким образом, у треугольника А1МВ1 два угла по 90 градусов, поэтому он является равнобедренным.

Поскольку треугольник является равнобедренным, то его периметр равен P = 2AM + A1B = 2AM + AB1.

Так как треугольник прямоугольный, то катеты AM = MB = AB / 2 = 6 / 2 = 3.

Теперь найдем AB1. Так как cosC = 2/3, а также AB = 6, то AC = AB cosC = 6 2 / 3 = 4.

Так как AM = MB = 3, то MC = AC - AM = 4 - 3 = 1.

Так как M - середина стороны AB, то AM = BM = 3.

Теперь найдем AB1 с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

AB1 = √(AC^2 + BC^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5.

И наконец найдем периметр равнобедренного треугольника A1МV1:

P = 2AM + A1B = 2 * 3 + 5 = 6 + 5 = 11.

Итак, периметр равнобедренного треугольника A1МV1 равен 11.