Точка M равноудалена от вершин квадрата ABCD на расстояние 10 см, а от сторон квадрата - на расстояние 8 см. Найдите: a) косинус угла между MA и плоскостью квадрата; 6) синус угла между плоскостями AB и ABC; в) расстояние от точки А до плоскости BCD. 3. Даны точки А (-1; -3; 2), B(5; -1; -1),c (3; 0; 2). a) Найдите координаты и модуль вектора ВА; 6) Найдите координаты точки D, если AD = DC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для нахождения косинуса угла между вектором MA и плоскостью квадрата, можно воспользоваться формулой для косинуса угла между вектором и плоскостью:

cos(θ) = |MA n| / |MA| |n|,

где MA - вектор, проведенный от точки M к любой точке плоскости квадрата, n - нормаль к плоскости квадрата.

Так как точка M равноудалена от вершин квадрата и сторон, можно сказать, что вектор MA будет параллелен нормали к плоскости квадрата. Значит, косинус угла между MA и плоскостью квадрата будет равен 0.

б) Для нахождения синуса угла между плоскостями AB и ABC можно воспользоваться формулой для синуса угла между двумя плоскостями:

sin(θ) = |n1 n2| / |n1| |n2|,

где n1 и n2 - нормали к соответствующим плоскостям.

Для плоскостей AB и ABC нормали будут пропорциональны векторам AB и BC соответственно. Найдем вектора AB и BC:

AB = B - A = (5 - (-1); -1 - (-3); -1 - 2) = (6; 2; -3),

BC = C - B = (3 - 5; 0 - (-1); 2 - (-1)) = (-2; 1; 3).

Теперь найдем синус угла между нормалями к плоскостям:

sin(θ) = |AB BC| / |AB| |BC| = |(6; 2; -3) (-2; 1; 3)| / sqrt(6^2 + 2^2 + (-3)^2) sqrt((-2)^2 + 1^2 + 3^2) = |(-18 - 3 -6)| / sqrt(49) sqrt(14) = 27 / 7 sqrt(14).

в) Расстояние от точки A до плоскости BCD можно найти как модуль проекции вектора, проведенного от точки A к произвольной точке плоскости, на нормаль к этой плоскости:

d = |(A - B) * n| / |n|,

где n - нормаль к плоскости BCD.

Найдем нормаль к плоскости BCD. Для этого найдем векторы BD и CD:

BD = D - B, CD = D - C.

Так как AD = DC, то BD = AD = (-1 - 5; -3 -(-1); 2 - (-1)) = (-6; -2; 3).

Нормаль к плоскости BCD будет направлена вдоль векторного произведения BD и CD:

n = BD x CD = det| i j k |
| -6 -2 3 |
| -5 1 3 | = (3 - 9) i - (-18 - 15) j + (-2 + 30) * k = -6i + 33j + 28k.

Теперь найдем расстояние от точки A до плоскости BCD:

d = |(-6; -2; 3) * (-6; 33; 28)| / sqrt((-6)^2 + (-2)^2 + 3^2) = 0 / sqrt(49) = 0.