Найдите производные от данных функций:
а) у = ∛(х^(2 )-4х+27) - 1/(3-х), у'(0);
б) у = х/2 √(1- х^2 ) + 1/2 arcsin x, у'(4/5);
в) у = arctg (1+х)/(1-х), у'(2).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) y = ∛(x^2 - 4x + 27) - 1/(3-x)

Чтобы найти производную данной функции, используем правила дифференцирования сложной функции и дроби:

y' = (1/3)(x^2 - 4x + 27)^(-2/3)(2x - 4) + 1/(3-x)^2

Теперь подставим значение x=0:

y'(0) = (1/3)(27)^(-2/3)(-4) + 1/(3-0)^2
y'(0) = (-4/3)(1/3)(-4) + 1/9
y'(0) = 16/9 + 1/9
y'(0) = 17/9

Ответ: y'(0) = 17/9

б) y = x/2 √(1- x^2 ) + 1/2 arcsin x

Дифференцируем по частям и используем правила дифференцирования функций arcsin и sqrt:

y' = (1/2)√(1-x^2) + x/2(-1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x) + 1/21/(√(1-x^2))
y' = 1/2√(1-x^2) + x^2/√(1-x^2) + 1/2*1/(√(1-x^2))

Теперь подставим значение x=4/5:

y'(4/5) = 1/2√(1-(4/5)^2) + (4/5)^2/√(1-(4/5)^2) + 1/21/(√(1-(4/5)^2))

y'(4/5) = 1/2√(1-16/25) + (4/5)^2/√(1-16/25) + 1/21/(√(1-16/25))
y'(4/5) = 1/2√(9/25) + (16/25)/√(9/25) + 1/21/(3/5)

y'(4/5) = 3/10 + 16/15 + 5/6
y'(4/5) = 9/30 + 32/30 + 25/30
y'(4/5) = 66/30
y'(4/5) = 11/5

Ответ: y'(4/5) = 11/5

в) y = arctg ((1+x)/(1-x))

Используем правило дифференцирования для функции arctg:

y' = 1/(1+((1+x)/(1-x))^2) (1-((1+x)/(1-x))^2)'
y' = 1/(1+(1+x)/(1-x)^2) (1-(1+x)^2/(1-x)^2)'
y' = 1/(1+(1+x)^2/(1-x)^2) * (-2x/(1-x)^2)
y' = -2x/(1-(1+x)^2)

Теперь подставим значение x=2:

y'(2) = -2*2/(1-(1+2)^2)
y'(2) = -4/(1-3^2)
y'(2) = -4/-8
y'(2) = 1/2

Ответ: y'(2) = 1/2