Одна из сторон ромба лежит в плоскости Р, а его меньшая диагональ
наклонена к этой плоскости под углом α. Тупой угол ромба равен 120°,
Найти косинус двугранного угла, образованного плоскостью ромба и плоскостью Р, если cosα=[tex]\frac{\sqrt[]{19}}{8}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку у тупого угла ромба равен 120°, то у острого угла ромба 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный 60° углом, катетом, равным радиусу описанной около ромба окружности, и гипотенузой, равной диагонали ромба. По теореме Пифагора:
[(2a)^2] = a^2 + a^2,
4a^2 = 2a^2,
a = 2a.

Следовательно, радиус = a, а диагональ ромба равна 2а.
Поскольку одна из сторон ромба находится в плоскости Р, а его меньшая диагональ наклонена к этой плоскости под углом а, то тангенс угла между плоскостью Р и плоскостью ромба равен tgα = (2a)/(a) = 2, а значит cosα = 1/sqrt(1+tg^2(α)) = 1/sqrt(1+2^2) = 1/sqrt(5).

Косинус двугранного угла равен cos(2α) = 2cos^2(α) - 1 = 2*(1/√5)^2 - 1 = 2/5 - 1 = -3/5.

Итак, cos(2α) = -3/5.