10. Иннокентий написал число 1000100110021003...1099. Найдите остаток этого числа при
делении а) на 11; б) на 101.
11. Докажите, что в любом натуральном десятизначном числе, делящемся на 137, можно
поменять местами две цифры так, чтобы получилось десятизначное число, также
делящееся на 137.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для того чтобы найти остаток числа, нужно сложить все цифры числа с разрядами 1, 10, 100, 1000, и т.д. Если результат делится на 11, то исходное число тоже будет делиться на 11.

Исходное число начинается с цифры 1 и затем повторяется чередование 0 и 1. Поэтому сумма цифр будет равняться 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 и т.д. Таким образом, сумма всех цифр равняется 55.

Так как сумма всех цифр делится на 11, то исходное число также будет делиться на 11.

б) Для того чтобы найти остаток числа при делении на 101, можно воспользоваться тем, что 1001 = 100 10 + 1 делится на 101, то есть x100 + y = 0 mod 101 тогда и только тогда, когда -x + 100y = 0 mod 101. Можно записать число 1000100110021003...1099 в виде x00 + y, где мы разбиваем число на два куска: справа 00 (101 делится на 100) и x + y.

Сумма всех цифр равняется 55, значит x + y = 55 mod 101. При умножении на 100 -x + 100y = 5500 mod 101.

То есть исходное число делится на 101, если 5500 + 00 делится на 101, что означает, что исходное число делится на 101.