7. Докажите равенство треугольников по медиане и по углам, на которые медиана
разбивает угол треугольника.
8. Доказать, что дробь 12n+1 | 30n+2 несократима
9. Число 2010 представили в виде суммы 4 точных квадратов. Сколько среди них могло
быть нечётных чисел? Приведите все возможные ответы и подтверждающие
их примеры.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим треугольник ABC и медиану AM. Выберем точку D на медиане AM так, чтобы прямая BD разделяла угол CAB на два равных угла. Проведем медиану BM и соединим точки C и D. Тогда треугольник ABD равен треугольнику ACD:
1) Стороны AB и AC равны, так как это - медиана;
2) Углы ABD и ACD равны, так как BD делит угол CAB на два равных угла;
3) Стороны AD и AD общие;
Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что треугольники ABM и ACM равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, треугольники ABC и AMB равны по двум сторонам и углу между ними.

Предположим, что дробь ( \frac{12n+1}{30n+2} )сократима. Тогда существуют целые числа (a) и (b), взаимно простые, такие что:
[ \frac{12n+1}{30n+2} = \frac{a}{b} ]
[ 12n+1 = 30n+2 ]
[ 18n = 1 ]
Уравнение ( 18n = 1 ) не имеет решений в целых числах, что противоречит нашему предположению. Следовательно, дробь несократима.

Представим число 2010 в виде суммы 4 точных квадратов: ( 2010 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ). Так как каждое нечётное число равно 1 (mod 8) или 9 (mod 8), то сумма 4 нечетных чисел равна 2 (mod 8), что невозможно. Таким образом, среди 4 точных квадратов число нечетных чисел не может быть 4, 2 или 0. Поэтому единственным возможным ответом является: 2010 представляется суммой 4 точных квадратов, среди которых 1 число нечетное. Пример: 2010 = 25^2 + 33^2 + 35^2 + 57^2.