Диогонали трапеции перпедекулярны друг другу и равны соответственно 15 и 20. Найдите среднию линию трапеции и её высоту.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длины боковых сторон трапеции.

Пусть a и b - основания трапеции, c и d - боковые стороны.

Так как диагонали перпендикулярны друг другу, то трапеция является прямоугольной. Таким образом, можем использовать теорему Пифагора.

Имеем систему уравнений:
c^2 + d^2 = a^2 (1) - из равенства диагоналей
b^2 + d^2 = c^2 (2) - из прямоугольности трапеции

Из уравнения (1) получаем: c^2 = a^2 - d^2
Подставляя это выражение в уравнение (2), получаем: b^2 + d^2 = a^2 - d^2
Откуда: b^2 = a^2 - 2d^2
Теперь находим среднюю линию трапеции:
m = (a + b) / 2 = (a + sqrt(a^2 - 2d^2)) / 2

Теперь найдем высоту трапеции. Высота трапеции h выражается через диагонали и среднюю линию по формуле:
h = sqrt( d^2 - (m - b/2)^2 )

Подставляем известные значения:
d = 15, a = 20

c^2 = 400 - 225 = 175
c = sqrt(175) = 5 sqrt(7)
b^2 = 20^2 - 2225 = 100
b = 10

m = (20 + 10) / 2 = 15
h = sqrt(225 - (15 - 10)^2) = sqrt(225 - 25) = sqrt(200) = 10*sqrt(2)

Итак, средняя линия трапеции равна 15, а высота равна 10*sqrt(2)