Для начала воспользуемся формулами двойного угла:
cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Теперь применим эти формулы к задаче:
cos^2(π/8) - sin^2(π/8) = cos(2π/16) - sin(2π/16) = cos(π/8) - sin(π/8)

Теперь можно воспользоваться формулами половинного угла:
cos(α/2) = ±√(1 + cos(α))/2
sin(α/2) = ±√(1 - cos(α))/2

cos(π/8) = √(1 + cos(π/4))/2 = √(1 + √2/2)/2
sin(π/8) = √(1 - cos(π/4))/2 = √(1 - √2/2)/2

Итак, подставим полученные значения обратно в исходное уравнение:
cos^2(π/8) - sin^2(π/8) = (√(1 + √2/2)/2)^2 - (√(1 - √2/2)/2)^2 = (1 + √2/2)/4 - (1 - √2/2)/4 = √2/2

Ответ: √2/2