Вычислить интеграл [tex]\int\limits {\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}} } \, dx[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла преобразуем его:

[tex]\int\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}} \, dx = \int\frac{x^2+2+1}{\sqrt{x^2+2}} \, dx = \int\left(\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\right) \, dx[/tex]

Проведем замену переменных:

[tex]u=x^2+2 \Rightarrow du=2x \, dx \Rightarrow \frac{du}{2}=x \, dx[/tex]

Подставляем обратно в интеграл:

[tex]\int\left(\sqrt{u}+\frac{1}{\sqrt{u}}\right) \frac{du}{2}=\int\left(\frac{\sqrt{u}+\sqrt{u}}{2}\right) \, du = \int\sqrt{u} \, du=\frac{2}{3}u^\frac{3}{2}[/tex]

Теперь подставляем обратно переменную:

[tex]\frac{2}{3}(x^2+2)^\frac{3}{2}+C[/tex]

Итак, интеграл [tex]\int\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}} \, dx = \frac{2}{3}(x^2+2)^\frac{3}{2}+C[/tex]