Учитель написал на доске дробь, в знаменателе которой стоит 146, а в числителе стоит сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма трех меньших квадратов равна сумме двух наибольших квадратов. Чему равно значение дроби?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что числитель равен сумме квадратов пяти последовательных натуральных чисел. Пусть эти числа будут x-2, x-1, x, x+1, x+2. Тогда числитель равен (x-2)^2 + (x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2.

Разложим числитель:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
x^2
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4

Суммируем все выражения и упрощаем:
x^2 - 4x + 4 + x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 5x^2 + 8

Согласно условию, сумма трех меньших квадратов равна сумме двух наибольших квадратов:
(x-2)^2 + (x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2 + (x+2)^2

Разложим обе части равенства и упростим:
x^2 - 4x + 4 + x^2 - 2x + 1 + x^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4
3x^2 - 6x + 5 = 5x^2 + 8

Теперь решим уравнение:
2x^2 + 6x - 3 = 0
x^2 + 3x - 1.5 = 0
D = 9 + 6 = 15
x = (-3 +- sqrt(15)) / 2

Итак, x = (-3 + sqrt(15)) / 2 или x = (-3 - sqrt(15)) / 2. Теперь можем подставить найденные значения x в выражение для числителя и получить его значение:

При x = (-3 + sqrt(15)) / 2:
5(((-3 + sqrt(15)) / 2)^2) + 8 = 5(1.5 - 3 sqrt(15) + 15 / 4) + 8 = 15/2 - 15 sqrt(15) + 75/4 + 8 = 62/4 - 15 sqrt(15) = 31/2 - 15 sqrt(15)

При x = (-3 - sqrt(15)) / 2:
5(((-3 - sqrt(15)) / 2)^2) + 8 = 5(1.5 + 3 sqrt(15) + 15 / 4) + 8 = 15/2 + 15 sqrt(15) + 75/4 + 8 = 62/4 + 15 sqrt(15) = 31/2 + 15 sqrt(15)

Итак, возможные значения числителя равны 31/2 - 15 sqrt(15) и 31/2 + 15 sqrt(15). Значит, значение дроби равно числителю, разделенному на 146:

(31/2 - 15 sqrt(15)) / 146 или (31/2 + 15 sqrt(15)) / 146.