Исследовать функцию и построить график y=2(x+1)^2/x-2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y=2(x+1)^2/(x-2).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 2*(x+1)**2/(x-2)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y=2(x+1)^2/(x-2)')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике мы видим, что функция имеет разрыв в точке x=2 из-за деления на ноль. В окрестности этой точки функция стремится к бесконечности.

Теперь исследуем функцию. Для начала упростим ее:

y = 2(x^2 + 2x + 1)/(x-2)
y = 2(x^2 + 2x)/x-2 + 2/(x-2)
y = 2(x + 2) + 2/(x-2)
y = 2x + 4 + 2/(x-2)

Таким образом, видим, что функция имеет асимптоту y=2x+4 и разрыв в точке x=2.

Асимптота:
lim(x->∞) y = lim(x->∞) 2x + 4 = ∞
lim(x->-∞) y = lim(x->-∞) 2x + 4 = -∞

Поведение функции в окрестности x=2:
lim(x->2-) y = -∞
lim(x->2+) y = ∞

Теперь построим обновленный график функции с учетом упрощенного вида:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 2*x + 4 + 2/(x-2)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y=2x + 4 + 2/(x-2)')
plt.grid(True)
plt.ylim(-20, 20)
plt.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', label='x=2')
plt.legend()
plt.show()

На графике видно, что у функции есть асимптота y=2x+4 (зеленая линия) и разрыв в точке x=2 (красная пунктирная линия). В окрестности разрыва функция стремится к бесконечности.