Вычислить 1/(sinx*sin2x)+1/(sin2x*sin3x)+...+1/(sin999x*sin1000x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой произведения синусов:
sin(a) sin(b) = 0.5 [cos(a-b) - cos(a+b)]

1/(sinxsin2x) = 1/(0.5 [cos(x-2x) - cos(x+2x)]) = 1/(0.5 [cos(-x) - cos(3x)]) = 1/(0.5 [cos(x) - cos(3x)])

Аналогично,
1/(sin2xsin3x) = 1/(0.5 [cos(2x-3x) - cos(2x+3x)]) = 1/(0.5 [cos(-x) -cos(5x)]) = 1/(0.5 [cos(x) - cos(5x)])

И так далее...

Таким образом, сумма данного выражения равна:
1/(0.5 [cos(x) - cos(3x)]) + 1/(0.5 [cos(x) - cos(5x)]) + ... + 1/(0.5 [cos(x) - cos(999x)]) + 1/(0.5 [cos(x) - cos(1000x)])

= 2 * [1/(cos(x) - cos(3x)) + 1/(cos(x) - cos(5x)) + ... + 1/(cos(x) - cos(999x)) + 1/(cos(x) - cos(1000x))]

= 2 [1/(2sin(2x)sin(x)) + 1/(2sin(4x)sin(x)) + ... + 1/(2sin(2000x)*sin(x))]

= 2 [1/2sin(2x)(1/sin(x) + 1/sin(2x) + ... + 1/sin(1000x))]

Таким образом, данное выражение сводится к:
1/sinx [1/sin(x) + 1/sin(2x) + ... + 1/sin(1000x)] = 1/sinx cotx

Ответ: cotx