Найдите сумму x+y, где (x; y) решение уравнения [tex]9x {}^{2} + 9y {}^{2} - 6x - 12y + 5 = 0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к каноническому виду квадратичного уравнения:

9x^2 - 6x + 9y^2 - 12y + 5 = 0
9(x^2 - 2/3x) + 9(y^2 - 4/3y) = -5
9(x^2 - 2/3x + (2/3)^2) + 9(y^2 - 4/3y + (4/3)^2) = -5 + 9(2/3)^2 + 9(4/3)^2
9(x - 1/3)^2 + 9(y - 2/3)^2 = -5 + 4 + 16
9(x - 1/3)^2 + 9(y - 2/3)^2 = 15

Теперь видно, что это уравнение представляет собой уравнение эллипса.

Сравним данное уравнение эллипса с общим уравнением эллипса:
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1

По сравнению видно, что h = 1/3, k = 2/3, a = sqrt(15/9), b = sqrt(15/9).

Таким образом, уравнение эллипса можно записать в виде:
(x - 1/3)^2/(sqrt(15/9))^2 + (y - 2/3)^2/(sqrt(15/9))^2 = 1

Так как сумма x+y находится вне зависимости от вида уравнения, мы можем воспользоваться свойством симметрии, т.е. преобразовать уравнение, используя инверсию координат, в вид:
(x' - 1/3)^2/(sqrt(15/9))^2 + (y' - 2/3)^2/(sqrt(15/9))^2 = 1

Теперь, заменяем x' = y, y' = x, получаем:
(y - 1/3)^2/(sqrt(15/9))^2 + (x - 2/3)^2/(sqrt(15/9))^2 = 1

Таким образом, общая форма уравнения канонического эллипса:

(x - m)^2/a^2 + (y - n)^2/b^2 = 1

Получаем, что m = 2/3, n = 1/3, a^2 = 15/9, b^2 = 15/9.

Переписываем в общее уравнение:
(x - 2/3)^2/(sqrt(15/9))^2 + (y - 1/3)^2/(sqrt(15/9))^2 = 1

Теперь мы можем видеть, что сумма x+y для данного уравнения эллипса равна mse sqrt(b^2) = sqrt(15/9) * sqrt(15/9) = 15/9 = 5/3.

Таким образом, сумма x+y для данного уравнения равна 5/3.