Найдите значение f'(p/3), если f(x) =sin4x*cos4x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной данной функции f(x) = sin(4x)*cos(4x) воспользуемся производной произведения функций:

f'(x) = (sin(4x)' cos(4x)) + (sin(4x) cos(4x)')

где sin(4x)' = 4cos(4x) и cos(4x)' = -4sin(4x)

Подставляя значения производных, получаем:

f'(x) = (4cos(4x)cos(4x)) + (sin(4x)(-4sin(4x)))

f'(x) = 4cos^2(4x) - 4sin^2(4x)

f'(x) = 4(cos^2(4x) - sin^2(4x))

Так как нам нужно найти значение производной в точке p/3, подставляем x = p/3:

f'(p/3) = 4(cos^2(4(p/3)) - sin^2(4(p/3)))

f'(p/3) = 4[cos^2(4π/3) - sin^2(4π/3)]

Далее, используем тригонометрические тождества для нахождения значений косинуса и синуса при аргументах 4π/3:

cos(4π/3) = -1/2, sin(4π/3) = √3/2

Подставляем значения в формулу:

f'(p/3) = 4[(-1/2)^2 - (√3/2)^2]

f'(p/3) = 4[1/4 - 3/4]

f'(p/3) = 4[-2/4]

f'(p/3) = -2

Таким образом, значение производной функции f(x) = sin(4x)*cos(4x) в точке p/3 равно -2.